# Variationale Quantenalgorithmen: VQE und QAOA
## Einleitung
Variationale Quantenalgorithmen (VQAs) sind hybride Verfahren, die speziell für die Rauschanfälligkeit der heutigen Quantenhardware entwickelt wurden. Anders als tief verschachtelte Schaltkreise bauen VQAs auf die Zusammenarbeit zwischen einem Quantenprozessor und einem klassischen Optimierer. Der Quantenanteil berechnet Erwartungswerte einer parametrisierten Schaltung, während der klassische Teil die Parameter sucht, die eine Zielfunktion optimieren. Diese Flexibilität macht VQAs vielseitig: Sie lassen sich an die Topologie der Hardware anpassen, nutzen kurze Schaltkreise und können eine breite Palette von Problemen abdecken, von Quantenchemie über Optimierung bis hin zu maschinellem Lernen.
In diesem Artikel betrachten wir zwei prominente Vertreter der variationalen Algorithmen – den **Variational Quantum Eigensolver (VQE)** und den **Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA)**. Wir erklären ihre Funktionsweise, typische Ansätze und Anwendungen sowie die Herausforderungen bei der Implementierung auf NISQ-Geräten.
## Warum Variationale Algorithmen?
Die natürlichen Fehlerraten von Qubits wachsen mit der Schaltkreis-Tiefe. Viele Quantenalgorithmen wie Shor oder HHL erfordern tiefe Sequenzen aus kontrollierten Rotationen und modularen Exponentiationen. Solche Schaltkreise sind heute schwer umzusetzen. VQAs umgehen dieses Problem, indem sie nur flache Schaltungen verwenden und Messungen nutzen, um die Zielfunktion zu evaluieren. Durch die Einbettung des Problems in einen ansatzartigen Schaltkreis lassen sich die Parameter iterativ anpassen. So kann man ein Ziel wie die Minimierung der Energie eines Moleküls oder die Maximierung einer Optimierungsfunktion verfolgen, ohne dass die Kohärenzzeit der Qubits überschritten wird.
Das Prinzip ist universell: Man definiert einen **Ansatz** – eine parametrische Einheitärentwicklung mit wenigen Schichten, die die Hardware nativ umsetzen kann. Dann misst man eine Zielfunktion und füttert sie in einen klassischen Optimierungsalgorithmus, der die Parameter aktualisiert. Dieser Zyklus aus Vorbereiten, Messen und Optimieren wird wiederholt, bis Konvergenz erreicht ist. Je besser der Ansatz die wahre Lösung approximieren kann, desto schneller und genauer ist das Verfahren.
## Variational Quantum Eigensolver (VQE)
Der Variational Quantum Eigensolver wurde 2014 eingeführt, um die Grundzustandsenergie von Molekülen zu berechnen. In der Quantenchemie ist die Bestimmung von Eigenwerten der Hamiltonmatrix eine zentrale Aufgabe. Klassische Methoden wie die Konfiguration-Interaktions-Methode skalieren exponentiell mit der Anzahl der Elektronen und Orbitale. VQE nutzt das **Variationsprinzip** der Quantenmechanik: Die Energieerwartung eines Hamiltonoperators in einem beliebigen Zustand ist stets größer oder gleich der Grundzustandsenergie. Durch Minimierung dieser Erwartungsenergie nähert man den wahren Grundzustand an.
Der VQE-Workflow besteht aus folgenden Schritten:
1. **Hamiltonian-Formulierung**: Das Molekül wird in ein Quantencomputermodell übersetzt, z.\u00a0B. via Zweiertransformation (Jordan-Wigner oder Bravyi-Kitaev). Der Hamiltonian wird als Summe von Pauli-Operatoren dargestellt.
2. **Ansatz-Auswahl**: Es gibt viele mögliche ansatzartige Schaltkreise. **Hardware-Effiziente Ansätze** nutzen native Gates und verschachteln Parameter in entangling layers. **Chemisch inspirierte Ansätze** wie der Unitär Coupled Cluster Singles and Doubles (UCCSD) spiegeln die Struktur von elektronischen Excitationen wider, erfordern aber teilweise tiefe Schaltkreise. Die Wahl des Ansatzes ist oft ein Kompromiss zwischen Ausdruckskraft und Umsetzbarkeit.
3. **Parameterinitialisierung**: Startwerte für die Parameter werden gewählt, manchmal zufällig, manchmal heuristisch. Gute Anfangswerte können die Optimierung beschleunigen.
4. **Messen der Erwartungswerte**: Der Quantenprozessor bereitet den Ansatzzustand mit den aktuellen Parametern vor und misst die Erwartungswerte der einzelnen Pauli-Terme. Da jeder Term separat gemessen werden muss, können die Messraten hoch sein. Gruppierungsstrategien wie die **commuting groups** reduzieren die Anzahl der notwendigen Messungen.
5. **Klassische Optimierung**: Ein klassischer Algorithmus wie Nelder-Mead, COBYLA oder Gradientenschätzungen aktualisiert die Parameter in Richtung eines niedrigeren Energieerwartungswerts. Stochastische Schwankungen durch Messfehler werden dabei berücksichtigt.
6. **Konvergenz und Resultat**: Wenn die Energie nicht mehr signifikant sinkt, beendet man den Zyklus. Die resultierenden Parameter definieren den approximierten Grundzustand; daraus lassen sich Observablen wie Dipolmomente, Bindungsenergien oder Reaktionsbarrieren berechnen.
### Anwendungen von VQE
VQE wurde in Experimenten erfolgreich zur Berechnung der Bindungsenergie von Molekülen wie H2, LiH, BeH2 und H2O eingesetzt. Für kleine Systeme stimmt das Ergebnis gut mit klassischen Berechnungen überein. Neben der Chemie findet VQE Anwendung bei Quantenmagnetismus und Festkörpermodellen, etwa dem Fermi-Hubbard-Modell. Auch Optimierungsprobleme lassen sich als Eigenwertprobleme formulieren, sodass VQE zur Lösung von Portfolio-Optimierung oder Knotenschnittproblemen genutzt werden kann.
### Herausforderungen beim VQE
Trotz seiner Vielseitigkeit ist VQE nicht frei von Hürden:
– **Barren Plateaus**: Für manche Ansätze wird die Ableitung der Energie nach den Parametern für größere Systeme exponentiell klein, was das Training erschwert. Strukturierte Ansätze und lokale Koppelschaltungen können dem entgegenwirken.
– **Messaufwand**: Der Hamiltonian besteht oft aus hunderten bis tausenden Pauli-Terms. Obwohl man kommutative Gruppen zusammenfassen kann, bleibt der Messaufwand beträchtlich. Adaptive VQE-Varianten wie **ADAPT-VQE** fügen nur die notwendigsten Operatoren hinzu und reduzieren so die Termanzahl.
– **Rauschen**: Schaltkreisfehler und Dekohärenz führen zu Energieverschiebungen. Fehlermitigationstechniken wie Zero-Noise Extrapolation oder probabilistic error cancellation können die Ergebnisse verbessern, erfordern aber zusätzliche Experimente.
## Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA)
Der Quantum Approximate Optimization Algorithm wurde 2014 von Farhi und Harrow vorgestellt. Er löst kombinatorische Optimierungsprobleme, bei denen man eine Zielfunktion auf binären Variablen maximiert oder minimiert. Beispiele sind Max-Cut, Graph-Partitionierung, Scheduling oder Max-SAT. QAOA basiert auf der Trotterisierung der Adiabatischen Quantenoptimierung und kombiniert zwei unitäre Operatoren: den Problem-Hamiltonian und einen Mixer-Hamiltonian.
Der Ablauf des QAOA sieht wie folgt aus:
1. **Problem-Hamiltonian definieren**: Jedes Optimierungsproblem lässt sich als Hamiltonian formulieren, dessen Grundzustand dem optimalen Bitstring entspricht. Beim Max-Cut ist dies beispielsweise die Summe der Z_edges (Z_i Z_j)-Operatoren über die Kanten des Graphen.
2. **Mixer wählen**: Ein Mixer-Hamiltonian, oft die Summe der X_i-Operatoren, sorgt dafür, dass das System verschiedene Bitstrings erkundet. Es gibt auch erweiterte Mixer, die Nebenbedingungen respektieren.
3. **Schichtentiefe p bestimmen**: QAOA verwendet p Schichten. In jeder Schicht wendet man erst die Zeitentwicklung unter dem Problem-Hamiltonian mit Parameter γ_k an, dann die Zeitentwicklung unter dem Mixer mit Parameter β_k. Bei p=1 hat man nur ein Paar (γ, β), bei p=2 zwei Paare usw. Höhere p können bessere Ergebnisse liefern, erfordern aber längere Schaltkreise.
4. **Messung und Optimierung**: Nach Anwendung der p Schichten misst man den Bitstring und berechnet die Zielfunktion. Ein klassischer Optimierer passt die Parameter (γ_k, β_k) an, um den Erwartungswert der Zielfunktion zu maximieren. Da die Landschaft oszillatorisch ist, eignen sich heuristische Algorithmen wie Nelder-Mead, Grid Search oder Fourier-Basis-Heuristik.
QAOA besitzt sowohl theoretische als auch praktische Eigenschaften: Bei p→∞ konvergiert er zu adiabatischen Quantencomputern und kann optimale Lösungen liefern. Bei kleiner p liefert er oft bessere Approximationsraten als klassische heuristische Algorithmen, insbesondere bei regulären Graphen. Experimente mit bis zu p=3 wurden auf Quantenprozessoren mit wenigen Dutzend Qubits durchgeführt und erzielten vielversprechende Ergebnisse für Max-Cut und andere NP-harte Probleme.
### Beispiele
Ein einfaches Beispiel ist ein Dreieckgraph mit Knoten 0, 1 und 2. Der Max-Cut besteht aus zwei Knoten in einer Partition und einem in der anderen. Mit QAOA bei p=1 erhält man bereits eine Erfüllungswahrscheinlichkeit von 0,75 für die optimale Lösung – besser als bei zufälligem Raten. Für größere Graphen führt die Optimierung der Parameter zu Approximationswerten, die nahe an klassische Algorithmen wie das Goemans-Williamson-Verfahren heranreichen.
### Herausforderungen beim QAOA
– **Parameter-Initialisierung**: Die Parameterlandschaft hat viele lokale Maxima. Spezielle Startwerte (z.\u00a0B. lineare Interpolation aus den optimalen Parametern für kleinere p) können helfen, das globale Maximum zu finden.
– **Tiefe vs. Erfolg**: Höhere p erhöhen die Erfolgsrate, aber die Schaltkreise werden länger und anfälliger für Fehler. Die optimale Balance hängt vom Problem und der Hardware ab.
– **Hardware-Implementierung**: Die Implementierung der Problem- und Mixer-Evolution erfordert native Zwei-Qubit-Gates auf den konkreten Qubit-Verbindungen. Das Layout muss an die Hardware angepasst werden.
Trotz dieser Herausforderungen bietet QAOA einen vielversprechenden Weg, schwierige Optimierungsprobleme auf NISQ-Geräten anzugehen und liefert dabei tiefe Einblicke in die Wechselwirkung zwischen Quanten- und Klassikalgorithmen.
## Weitere Variationale Ansätze
Neben VQE und QAOA existiert eine Vielzahl weiterer VQAs:
– **Variational Quantum Classifier (VQC)**: Ein Klassifizierungsmodell, das klassische Daten in einen quantenmechanischen Zustandsraum kodiert und eine parametrische Schaltung zur Trennung der Klassen nutzt. VQC kann in Kombination mit Feature-Maps universelle Kernmethoden abbilden.
– **Variational Quantum Linear Solver (VQLS)**: Löst lineare Gleichungssysteme Ax=b variational. Im Gegensatz zum HHL-Algorithmus benötigt VQLS keine tiefen Schaltkreise, sondern minimiert die Residualnorm – die Fehlermitigation ist dabei entscheidend.
– **Variational Quantum Deflation (VQD)**: Berechnet nicht nur den Grundzustand, sondern auch angeregte Zustände, indem Projektionsterme in die Zielfunktion eingebaut werden.
– **Adaptive Variational Algorithms**: Ansätze wie ADAPT-VQE oder QAOA mit variabler Tiefe fügen schrittweise Operatoren hinzu, die den größten Gradienten besitzen. Dadurch entstehen kompaktere Schaltungen.
Diese Vielfalt zeigt, dass VQAs eher eine Familie von Methoden als ein einzelnes Rezept sind. Sie können an die Eigenheiten des Problems und der Hardware angepasst werden.
## Vorteile und Grenzen variationaler Algorithmen
**Vorteile:**
– **Hardwarefreundlich**: Ansätze lassen sich so entwerfen, dass sie die verfügbare Konnektivität und die nativen Gates ausnutzen.
– **Rauschresilienz**: Flache Schaltungen und wenige zweifache Gates reduzieren die kumulative Fehlerrate.
– **Flexibilität**: Dasselbe Rahmenwerk eignet sich für unterschiedliche Probleme, nur der Ansatz und die Zielfunktion ändern sich.
– **Kombination mit Klassik**: Durch die iterative Optimierung können klassische Heuristiken genutzt werden, um Parameter anzupassen.
**Grenzen:**
– **Messstatistik**: Viele Messungen werden benötigt, um Erwartungswerte mit ausreichender Genauigkeit zu schätzen.
– **Optimierungslandschaft**: Barren Plateaus und lokale Minima erschweren die Parameteroptimierung.
– **Skalierbarkeit**: Für große Systeme wächst die Anzahl der benötigten Parameter und Messungen stark an; Effekte wie Korrelationslänge spielen eine Rolle.
– **Problemabhängigkeit**: Es ist unklar, für welche Arten von Problemen VQAs einen wirklichen Vorteil bieten; oft existieren leistungsstarke klassische Heuristiken.
## Ausblick und Fazit
Variationale Quantenalgorithmen gehören zu den vielversprechendsten Werkzeugen in der NISQ-Ära. Sie verbinden die Stärken von Quantenhardware – effizientes Entanglement und exponentiellen Zustandsraum – mit bewährten klassischen Optimierungsverfahren. VQE hat das Tor zur Quantenchemie aufgestoßen, QAOA zeigt den Weg zur Quantenoptimierung, und zahlreiche Abwandlungen erweitern das Spektrum.
Um das volle Potenzial auszuschöpfen, müssen Forscher die Designprinzipien für gute Ansätze besser verstehen, Fehlermitigation weiterentwickeln und die Auswirkungen von Rauschen theoretisch modellieren. Gleichzeitig wird die Hardware verbessert werden, sodass längere Schaltkreise möglich sind. Es ist wahrscheinlich, dass variationale Methoden auch in der fehlertoleranten Ära eine wichtige Rolle spielen: als Pre-Processing, als Vorbereitung guter Anfangszustände oder als Teil hybrider Algorithmen.
### Weiterführende Ressourcen
– [NISQ-Ära: Herausforderungen und Chancen der rauschanfälligen Quantencomputer](#) – ein Überblick über die aktuelle Hardware und Fehlerquellen.
– [Quanten-Maschinelles Lernen: Algorithmische Ansätze und Anwendungen](#) – Anwendung variationaler Schaltungen für Klassifizierung und Regression.
– [Quantenfehlerkorrektur: Grundlagen und Codes](#) – wie man Rauschen langfristig mit logischen Qubits kontrollieren kann.
– [Grover-Algorithmus: Quadratische Beschleunigung der Suche](#) – ein alternativer Ansatz zur Optimierung und Suche.