Die Bloch-Sphäre

# Bloch -Sphäre: Visualisierung von Qubit -Zuständen

Die **Bloch -Sphäre** ist ein zentrales Werkzeug, um den Zustand eines einzelnen Qubits anschaulich darzustellen. Sie repräsentiert reine Quantenzustände als Punkte auf der Oberfläche einer Einheitssphäre und vermittelt damit ein intuitives Bild der komplexen Hilbertraumphysik. Die Möglichkeit, komplexe Zustandsvektoren als dreidimensionale Richtungen zu interpretieren, macht die Bloch -Sphäre sowohl für die Ausbildung als auch für die experimentelle Steuerung unverzichtbar. Dieser Artikel erläutert die Parametrisierung, veranschaulicht wichtige Gate -Operationen, geht auf gemischte Zustände und Rauscheffekte ein und zeigt, wo die Darstellung an ihre Grenzen stößt.

## Parametrisierung eines reinen Qubit -Zustands

Ein allgemeiner reiner Qubit -Zustand wird als lineare Kombination der Basiszustände \(|0\rangle\) und \(|1\rangle\) geschrieben:

\[
|\psi\rangle = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|0\rangle + e^{i\varphi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|1\rangle
\]

Die Winkel \(\theta\in[0,\pi]\) und \(\varphi\in[0,2\pi)\) bestimmen die Position des Zustands auf der Sphäre: \(\theta\) ist der Polarwinkel (vom Nordpol), \(\varphi\) der Azimutwinkel. Da eine globale Phase physikalisch nicht messbar ist, steht nur die relative Phase zwischen den Basisanteilen im Exponenten \(e^{i\varphi}\). Folgende Beispiele helfen bei der Einordnung:

– **\(|0\rangle\)**: \(\theta = 0\), der Vektor zeigt zum Nordpol.
– **\(|1\rangle\)**: \(\theta = \pi\), der Vektor zeigt zum Südpol.
– **\(|+\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\)**: \(\theta=\tfrac{\pi}{2},\ \varphi=0\), der Vektor liegt auf dem Äquator in x -Richtung.
– **\(|-\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle – |1\rangle)\)**: \(\theta=\tfrac{\pi}{2},\ \varphi=\pi\), Äquator in \(-x\)-Richtung.
– **\(|i\!+\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + i|1\rangle)\)**: \(\theta=\tfrac{\pi}{2},\ \varphi=\tfrac{\pi}{2}\), Äquator in y -Richtung.

Jeder reine Zustand liegt also auf der Oberfläche der Sphäre. Die Bloch -Koordinaten können direkt aus den Pauli -Operatoren \(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\) berechnet werden: Für einen Zustand \(|\psi\rangle\) ist der Bloch -Vektor \(\mathbf{r}=(\langle\sigma_x\rangle,\langle\sigma_y\rangle,\langle\sigma_z\rangle)\), wobei die Erwartungswerte über \(|\psi\rangle\) genommen werden. Für die oben genannten Beispiele ergibt sich beispielsweise \((0,0,1)\) für \(|0\rangle\) und \((1,0,0)\) für \(|+\rangle\).

## Rotationen und Gate -Operationen

Viele Einzelqubit -Gate -Operationen lassen sich als Rotationen des Bloch -Vektors interpretieren. Die elementaren Pauli -Operatoren wirken wie Spiegungen durch die Koordinatenebenen:

– **\(X\)-Gate** (\(\sigma_x\)) spiegelt am Ursprung in x -Richtung: \(|0\rangle\leftrightarrow|1\rangle\), auf der Bloch -Sphäre entspricht dies einer 180° -Drehung um die x -Achse.
– **\(Y\)-Gate** (\(\sigma_y\)) tauscht \(|0\rangle\) und \(|1\rangle\) mit Phasenfaktor und dreht um die y -Achse.
– **\(Z\)-Gate** (\(\sigma_z\)) multipliziert \(|1\rangle\) mit \(-1\) und dreht den Bloch -Vektor um 180° um die z -Achse.

Allgemeine Rotationen werden durch die Operatoren
\[
R_\alpha(\phi) = e^{-i\,\frac{\phi}{2}\sigma_\alpha}
\]
mit \(\alpha\in\{x,y,z\}\) und Rotationswinkel \(\phi\) umgesetzt. So erzeugen die Sequenzen \(R_x(\pi)\), \(R_y(\pi/2)\), \(R_z(\phi)\) beliebige Punkte auf der Sphäre. Einige häufig verwendete Gates und ihre Wirkung auf den Bloch -Vektor:

– **Hadamard**: Lässt sich als Sequenz \(R_y(\tfrac{\pi}{2})\cdot R_x(\pi)\) auffassen. Es bringt den Nordpol (\(|0\rangle\)) auf den Äquator Richtung x -Achse und erzeugt damit den Zustand \(|+\rangle\).
– **Phase -Gate \(S\)**: \(R_z(\tfrac{\pi}{2})\) – dreht um die z -Achse und verschiebt den Azimutwinkel um 90°.
– **T -Gate**: \(R_z(\tfrac{\pi}{4})\) – eine 45° -Rotation um die z -Achse, wichtig zur Erreichung universeller Quantenberechnungen.
– **\(\s

## Gemischte Zustände und der Bloch -Ball

Nicht jeder Zustand eines Quantenbits ist rein; in der Realität führen Kopplungen an die Umgebung zu **gemischten Zuständen**. Diese lassen sich durch Dichtematrizen \(\rho\) beschreiben. Für ein einzelnes Qubit kann die Dichtematrix in Form des Bloch -Vektors geschrieben werden:

\[
\rho = \frac{1}{2}\bigl(\mathbb{I} + \mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\sigma}\bigr),
\]

wobei \(\mathbf{r}\) nun kein Einheitsvektor mehr sein muss. **Gemischte Zustände** liegen innerhalb der Einheitssphäre und bilden den sogenannten **Bloch -Ball**. Die Länge \(|\mathbf{r}|\) gibt den Reinheitsgrad an: \(|\mathbf{r}|=1\) kennzeichnet reine Zustände, \(|\mathbf{r}|<1\) gemischte Zustände; der Mittelpunkt (\(|\mathbf{r}|=0\)) entspricht dem maximal gemischten Zustand \(\mathbb{I}/2\).

### Rauscheffekte

Rauschkanäle lassen sich als Kontraktionen oder Verzerrungen des Bloch -Balles darstellen:

– **Phasen- oder Dephasierungsrauschen** (Phase Damping) reduziert den Radius in der x -y -Ebene, lässt aber die z -Achse unverändert. Auf der Sphäre zieht dieser Kanal den Punkt auf der Oberfläche zur z -Achse hin.
– **Amplitude -Dämpfung** (T1 -Prozess) drückt den Vektor Richtung Nordpol: Ein angeregter Zustand relaxiert nach und nach zu \(|0\rangle\). Die Kugel „verformt“ sich asymmetrisch.
– **Depolarisierendes Rauschen** kontrahiert den gesamten Bloch -Ball gleichmäßig zum Ursprung.

Die Visualisierung im Bloch -Ball hilft, Fehlerkanäle im Labor zu charakterisieren und Korrekturstrategien zu entwickeln. So zeigen z.\u00a0B. Messfehler eine Verzerrung entlang der Messbasis, während wechselnde Frequenzen (Detunings) Rotationen um die z -Achse verursachen. In unserem Artikel zur **Quantenfehlerkorrektur** erklären wir, wie logische Qubits aus mehreren physischen Qubits konstruiert werden, um solche Fehler zu kompensieren.

## Anwendungen der Bloch -Sphäre

1. **Visualisierung von Algorithmen**: Bei der Entwicklung von Quantenalgorithmen ist es hilfreich, einzelne Schritte geometrisch zu interpretieren. In unserem Artikel zum **Grover -Algorithmus** wird etwa gezeigt, wie die Iterationen eine sukzessive Spiegelung des Bloch -Vektors darstellen. Auch Variationsverfahren wie VQE werden als Abfolgen von Rotationen visualisiert.
2. **Entwurf von Pulsfolgen**: In supraleitenden und Ionenfallen -Qubits werden physische Mikrowellen- oder Laserimpulse genutzt, um Rotationen zu implementieren. Die Bloch -Sphäre dient als Navigationskarte für optimal geformte Pulse, die Drifte und Rauschen kompensieren. Bei IBM Q Experience etwa kann man Pulse visuell planen, um bestimmte Trajektorien zu realisieren.
3. **Fehleranalyse und Tomographie**: Die Zustandstomographie rekonstruiert den Bloch -Vektor aus Messstatistiken. Liegt der gemessene Vektor nicht auf der Oberfläche, so deutet dies auf Mischungen oder Fehlermitigation hin. Durch Plotten des Bloch -Balls vor und nach einer Schaltung lässt sich die Wirkung von Rauschkanälen klar erkennen.
4. **Didaktische Vermittlung**: Für Studierende bietet die Sphäre ein anschauliches Bild. Sie zeigt, warum eine globale Phase unsichtbar ist, wie relative Phasen Drehungen erzeugen und warum Ein-Qubit-Zustände auf einer Kugel, zwei Qubits aber bereits auf einer vierdimensionalen Sphäre (und damit nicht mehr visuell) leben.

## Grenzen und Verallgemeinerungen

Trotz ihrer Stärke hat die Bloch -Sphäre auch **Limitationen**:

– **Nur ein Qubit**: Die Darstellung gilt streng genommen nur für Zustände eines einzelnen Qubits. Bei zwei oder mehr Qubits wird der Zustandsraum 4 -, 8 - oder allgemein \(2^n\)-dimensional. Entanglement lässt sich nicht als einzelner Vektor auf einer Kugel darstellen, sondern erfordert Konzepte wie die Concurrence oder das Schmidt -Spektrum.
– **Keine Information über entanglement**: Selbst für bipartite reines System hält der reduzierte Bloch -Vektor nur Informationen über das Teilsystem bereit; Korrelationen zum zweiten Qubit gehen verloren.
– **Höhere Dimensionen (Qudits)**: Für d -dimensionale Systeme lassen sich nur \(d^2\!−\!1\) Generatoren zur Darstellung verwenden. Die entstehende Generalisierung der Bloch -Sphäre ist nicht mehr kugelförmig und nur schwer geometrisch anschaulich.
– **Globale Phasen und relative Amplituden**: Die Sphäre repräsentiert nur relative Phasen und relative Amplituden. Absoluter Betragsfaktor und globale Phasen werden ausgelassen.

Trotz dieser Beschränkungen bleibt die Sphäre unersetzlich für Ein -Qubit -Analysen. Wer mehr über Mehrqubit-Zustände und verschränkte Systeme erfahren möchte, kann unseren Artikel über **Quantenkryptografie** und die dort behandelten Bell -Zustände konsultieren.

## Fazit

Die Bloch -Sphäre ist ein elegantes und intuitives Bild für den Zustand eines einzelnen Qubits. Sie stellt reine Zustände als Punkte auf der Oberfläche, gemischte Zustände als Punkte im Innern dar und macht Rotationen sowie Rauscheffekte geometrisch sichtbar. Praktisch wird sie bei der Pulsoptimierung, Fehlercharakterisierung und didaktischen Vermittlung eingesetzt. Dennoch müssen wir ihre Grenzen bei mehr Qubits und komplexeren Systemen akzeptieren. Für das Verständnis moderner Themen wie **Variationale Quantenalgorithmen**, **Quantenfehlerkorrektur** oder **NISQ -Geräte** ist sie aber ein wertvolles Fundament. Mit wachsender Hardwarequalität und besseren Steuerungsmöglichkeiten wird die Bloch -Sphäre uns auch weiterhin begleiten und dabei helfen, die Quantenmechanik zu „sehen“.

qrt{X}\)**: Halbe \(X\)-Rotation, bewegt einen Polpunkt auf den Äquator.

Durch diese Perspektive werden Sequenzen von Gates zu eindrucksvollen Trajektorien auf der Bloch -Sphäre. In der praxisnahen Steuerung supraleitender oder ionenbasierter Qubits wird genau dieses Bild genutzt, um Pulsfolgen zu entwerfen, die den Vektor entlang definierter Pfade führen.